معناشناسی منطق گزاره‌ها صرفا درستی» گزاره‌ها را بر اساس تابع ارزش گزاره‌های اتمی تعریف می‌کند همچنین اگر هر مدلی که مجموعه آ از گزاره‌ها را راست» کند گزاره ب را نیز راست کند معادل است با این که ب نتیجه معناشاسانه آ است. اما راه دیگری هم برای بررسی درستی گزاره‌ها و ارتباط آنها با مجموعه دیگری از گزاره‌ها وجود دارد که بیشتر به تفکر ریاضی» و مدل ریاضی اثبات ریاضی» شبیه است: تعریف استنتاج؛ چگونه از گزاره یا گزاره‌هایی، مجموعه دیگری از گزاره یا گزاره‌ها را نتیجه بگیریم. علاوه بر تعریف قاعده استنتاج در این بخش، قسمت اعظم این بخش اختصاص داشت به این سوال که آیا این دو تعریف از استنتاج، یعنی درستی یا حقیقت و اسنتنتاج یا برهان با هم معادل هستند یا نه؟» به عبارتی آیا این دو جمله با هم معادل هستند: ب نتیجه معناشناسانه آ است» و برای گزاره ب استنتاجی از آ وجود دارد».
یکی از قسمت‌های این سوال، یعنی این که برهانی برای ب از آ وجود دارد» نتیجه می‌دهد که ب نتیجه معناشناسنه آ است» به نظر بدیهی می‌رسد. کافی است با بازگشت نشان دهیم که هر قدم استنتاج گزاره‌ای به دست می‌دهد که نتیجه معناشناسنه گزاره قبلی است، این قضیه به قضیه درستی» معروف است. یعنی آنچه با استنتاج به دست می‌آید وما قواعد درست» بودن را رعایت می‌کند.
عکس سوال اما غیر بدیهی است، یعنی به این راحتی مشخص نیست که اگر ب نتیجه معناشناسنه آ است» برقرار باشد وما نتیجه بدهد که برای ب استنتاجی از آ وجود دارد». واقعیت این است که اثبات این قسمت پر زحمت‌تر از اثبات قضیه درستی» است و این نشان از همین بدیهی نبودن دارد. طرح کلی اثبات از این قرار است که نشان دهیم پاسخ مثبت به این سوال معادل با این است که هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مدل دارد» سپس این قسمت را (که به لم وجود مدل معروف است) اثبات کنیم، معادل بودن این دو عبارت خیلی عجیب نیست، اگر جواب به سوال اول مثبت باشد، با توجه به این که از مجموعه سازگار از گزاره‌ها نمی‌توان تناقض را نتیجه گرفت، اگر نتیجه معناشناسانه بودن نتیجه استنتاج بودن را نتیجه دهد آنگاه مجموعه سازگار از گزاره‌ها می‌تواند نتیجه معناشناسانه بدیهی باشد به یک معنی هر مجموعه سازگار از گزاره ها مدل دارد. از طرفی اگر هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مدل داشته باشد، اگر ب نتیجه معناشناسنه آ باشد ولی آ ب را نتیجه ندهد به این معنی است که آ و نقیض ب سازگار است و این یعنی آ و نقیض ب مدل دارد که این با این که ب نتیجه معناشناسانه آ است در تناقض است (در اینجا جوبی وجود دارد: اگر استنتاجی از آ برای ب وجود ندارد حتما به این معنی نیست که برای نقیض ب اسنتنتاجی وجود دارد)
به هر حال برای قسمت دوم قضیه، اثبات خودِ لم وجود مدل کلی عملیات غیر بدیهی انجام میشود: اولا از مفهومی نه چندان بدیهی به نام مجموعه گزاره ماکسیمال استفاده می شود (یک جورهایی یعنی مجموعه ای که تمام گزاره های درست را در خود دارد) بعد اثبات می کند که برای هر مجموعه سازگار از گزاره‌ها مجموعه‌ای ماکسیمال سازگار وجود دارد که مجموعه اولیه زیر مجموعه آن مجموعه ماکسیمال است(با استفاده از اصل انتخاب یا معادلهای آن) و در نهایت نشان می‌دهد میتوان مدلی برای مجموعه ماکسیمال سازگار ( و در نتیجه هر مجموعه سازگار) ساخت. این قضیه پر دردسر به قضیه تمامیت مشهور است، تمامیت به این معنی که منطق گزاره ها و روش‌های استنتاج، می‌تواند تمام» همانگو ها را استنتاج کند یا تعیین کند که راست است یا خیر. اهمیت اینجاست که همانگو ها را میتوان به صورت معناشناسانه به راحتی یافت اما به لحاظ استنتاجی تنها این قضیه است که تضمین می کند برای تمام همانگوها اسنتنتاجی وجود دارد (به عبارتی تمام همانگونها اثبات شدنی یا استنتاج شدنی هستند)
منطق گزاره ها به یک معنی هم کامل نیست، یعنی منطق گزاره ها نمی‌تواند راجع به هر گزاره ای استنتاجی برای آن یا نقیض اش ارائه کند. در ادامه نشان می‌دهد که روشی کارامد وجود دارد که میتوان درستی و تمامیت را با آن اثبات کرد اما این روش کارآمد پرزحمت هم هست. به هر حال این قسمت برایم چندان جذاب نبود.
از این به بعد نوبت منطق مرتبه اول و قضایای درستی و تمامیت برای منطق مرتبه اول است، بخشی که بعد از آن بسیار جذاب می شود.
درباره این سایت